两种方法都会给出相同的答案。
到了19世纪，数学家尝试推广笛卡尔的方法。
他们从一些代数方程入手，把这些方程的解定义为“几何”对象。
以这种方式从代数方程产生的对象，就被称为“代数簇”。
因此，代数簇是几何图像的一种推广。
任何一个几何对应都是一个代数簇，但是有许多代数簇是不可能被直观化的。
然而，并不因为某个特定的代数簇不可能被直观化，你就不能对它做（代数）几何。
你能做，只不过这是没有图形的几何。
之后，数学家很快发现更复杂的方程，或者甚至方程组都在一起工作，可以在各种维度产生惊人的形状。
数学家为了得到更加复杂的形状，发现了一个非常实用的方法，基本想法是在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧非常好用，使得它可以用许多不同的方式来推广。
数学家希望通过这种方法，用各种不同类型的方式一步一步地扩展，最终建立一组强有力的代数方程或／和几何工具，使各种复杂的对象分类成一些具体的简单的几何对象及其组合。
这使得数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，几何出发点变得模糊起来。
到底应该从哪些简单几何对象组合起？
组合的程序／序列又是什么？
因此，必须加上一些没有任何几何解释的＂非几何＂基本模块。
正是基于这样的困境，1958年，英国数学家，第13次国际数学大会的主席霍奇教授提出：对于射影代数簇空间，在非奇异复射影代数簇上，任何一个霍奇类都可以表达为代数闭链类的有理线性（几何部件的）组合。
这句话用一个通俗的数学语言表述，就是：
设x是一个射影代数流形，p是一个正整数。再设H^2p(X，Q)afg?(X，Q)是代数上闭链的子空间，即由X中余维数p为的代数子簇的基本类所生成的Q向量空间。霍奇猜想断言，可以用霍奇理论来“计算”子空间H^2p(X，Q)afg，具体地说，H^2p(X，Q)afg=H^p，p∩H^2p(X，Q)。
这里面，所谓的“非奇异射影代数簇”，指代的就是由一个代数方程的解所生成的光滑的多维物体的“表面”。
……
在现实世界的时候，佩雷尔曼曾经和庞学林聊过，他在庞氏几何的研究中，找到了证明霍奇猜想的灵感。
在这之后，佩雷尔曼便进入了闭关状态，庞学林也不知道他的研究进度到底到哪一步了。
但是，从直觉上来说，庞学林觉得，庞氏几何理论，与霍奇猜想绝对存在着不可分割的密切关系。
因此，这半年时间，庞学林并没有将注意力放在霍奇猜想本身上，而是一直在寻找庞氏几何与代数几何、分析学以及拓扑学之间的某些内在联系。
这种工作非常枯燥，需要考虑思考某些涉及数学本质的东西。
虽然半年的时间，远远没有到能够解决霍奇猜想的地步。
但是对于分析学以及拓扑学的研究，却让庞学林对于庞氏几何理论又有了更加深入的理解。